Question

9．已知函數f（x）=x-$\frac{1}{x}+\frac{alnx}{2}$
（Ⅰ）當a=-1時，求函數f（x）在點A（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若函數f（x）有兩個極值點x₁和x₂，設過M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））的直線的斜率為k，求證：k＞a+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1時，函數的導數，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求得導數，令g（x）=2x²+ax+2（x＞0），對判別式大于0，小于等于0，解不等式即可得到單調區(qū)間；
（Ⅲ）求出斜率k，結合分析法證明，即證$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立．令$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞），求出導數，運用單調性即可得證．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，$f（x）=x-\frac{1}{x}-\frac{lnx}{2}$，
則${f^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x}$，∴${f^'}（1）=\frac{3}{2}$，
∴函數f（x）在點A（1，0）處的切線方程$y=\frac{3}{2}（{x-1}）$，
化簡得3x-2y-3=0；
（Ⅱ）${f^'}（x）=1+\frac{1}{x^2}+\frac{a}{2x}=\frac{{2{x^2}+ax+2}}{{2{x^2}}}（x＞0）$，
令g（x）=2x²+ax+2（x＞0）
①當△=a²-16≤0時，g（x）≥0，2x²＞0，
則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當△=a²-16＞0時
（�。┊攁＞4時，g（x）＞0，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（ⅱ）當a＜-4時，g（x）=0有兩根，又g（0）=2＞0，
對稱軸$x=-\frac{a}{4}＞1$，且$0＜{x_1}=\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}$，${x_2}=\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}$，
令g（x）＞0，解得0＜x＜x₁或x＞x₂，此時f′（x）＞0
令g（x）＜0，解得x₁＜x＜x₂，此時f′（x）＜0．
綜上所述：當-4≤a≤4或a＞4時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＜-4時，f（x）在$（{0，\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}}）$和$（{\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}，+∞}）$上單調遞增，
在$（{\frac{{-a-\sqrt{{a^2}-16}}}{4}，\frac{{-a+\sqrt{{a^2}-16}}}{4}}）$上單調遞減．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知函數f（x）有兩個極值點x₁和x₂，則a＜-4，且x₁x₂=1，
不妨設x₁＜x₂
又$k=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_2}-\frac{1}{x_2}+\frac{a}{2}ln{x_2}-（{{x_1}-\frac{1}{x_1}+\frac{a}{2}ln{x_1}}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$1+\frac{1}{{{x_2}•{x_1}}}+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$2+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$．
∴欲證k＞a+2，即證$2+\frac{a}{2}\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}＞a+2$，∵a＜-4，
即證$\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{2（{{x_2}-{x_1}}）}}＜1$即證lnx₂-lnx₁＜2x₂-2x₁又x₁x₂=1，${x_1}=\frac{1}{x_2}$，且x₂＞1，
即證$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立．
令$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-1=\frac{{-{x^2}+x-1}}{x^2}$=$\frac{{-{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}-\frac{3}{4}}}{x^2}＜0$，
∴$h（x）=lnx-x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是遞減函數，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴$ln{x_2}-{x_2}+\frac{1}{x_2}＜0$在（1，+∞）上恒成立
∴k＞a+2．

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值，同時考查不等式的恒成立思想，注意運用函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．