Question

20．設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+tsin\frac{5π}{6}\\ y=-tcos\frac{π}{6}\end{array}$（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρsin²θ=6cosθ，ρ²sin²θ=6ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程，可指出曲線是拋物線；
（Ⅱ）利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=$\frac{6cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$得ρsin²θ=6cosθ，ρ²sin²θ=6ρcosθ，∴y²=6x．
∴曲線C表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x上的拋物線…（5分）
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+tsin\frac{5π}{6}\\ y=-tcos\frac{π}{6}\end{array}\right.$化為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，代入y²=6x得t²-4t-12=0（*），
由（*）式解得t₁=6，t₂=-2，|AB|=|t₁-t₂|=8．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用參數(shù)的幾何意義解決問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．