Question

17．如圖1，在邊長為12的正方形AA′A${\;}_{1}^{′}$A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，且BC=4，AA${\;}_{1}^{′}$分別交BB₁，CC₁于點(diǎn)P，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得A′A${\;}_{1}^{′}$與AA₁重合，構(gòu)成圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，在圖2中：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點(diǎn)M，使得BM∥平面APQ，求點(diǎn)M到平面PAQ的距離．

Answer 1

分析 （1）由BB₁⊥平面ABC得BB₁⊥AB；由勾股定理得AB⊥BC，從而證得AB⊥平面BCC₁B₁，從而AB⊥PQ．
（2）建系，求得平面APQ的一個(gè)法向量為設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AC}$，根據(jù)題意$\overrightarrow{BM}$-$\overrightarrow{n}$=0求得λ，進(jìn)而求得點(diǎn)M到平面PAQ的距離．

解答 （1）∵BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AB；
由勾股定理得AB⊥BC，
∵BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵PQ?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥PQ
（2）如圖建系，由條件得BP=3，CQ=7，可求得平面APQ的
一個(gè)法向量為N=（1，-1，1）．設(shè)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AC}$，則$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$=（3-3λ，4λ，0），
由題意有$\overrightarrow{BM}$-$\overrightarrow{n}$=0，
解得λ=$\frac{3}{7}$，則d=$\frac{|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了線面垂直的判定定理的運(yùn)用，法向量的運(yùn)用．考查了學(xué)生綜合分析問題解決問題的能力．