Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}$+lnx，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果對(duì)于任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{3}，2}]$，都有x₁•f（x₁）≥g（x₂）成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=-\frac{a}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2a}}{x^3}$，對(duì)參數(shù)a討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由題對(duì)于任意的${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{3}，2}]$，都有x₁•f（x₁）≥g（x₂）成立，則x₁•f（x₁）≥g（x）_max，然后分離參數(shù)，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=-\frac{a}{x^3}+\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-2a}}{x^3}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，若$x≥\sqrt{2a}$，則f'（x）≥0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若$0＜x＜\sqrt{2a}$，則f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{2a}）$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$（\sqrt{2a}，+∞）$上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ）$g'（x）=3{x^2}-2x=3x（x-\frac{2}{3}）$，$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
可見(jiàn)，當(dāng)$x∈[{\frac{2}{3}，2}]$時(shí)，g'（x）≥0，g（x）在區(qū)間$[{\frac{2}{3}，2}]$單調(diào)遞增，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]$時(shí)，g'（x）≤0，g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]$單調(diào)遞減，
而$g（\frac{1}{3}）=-\frac{83}{27}＜g（2）=1$，所以，g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，2}]$上的最大值是1，
依題意，只需當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，2}]$時(shí)，xf（x）≥1恒成立，
即 $\frac{a}{x}+xlnx≥1$恒成立，亦即a≥x-x²lnx； …（8分）
令$h（x）=x-{x^2}lnx（x∈[{\frac{1}{3}，2}]）$，
則h'（x）=1-x-2xlnx，顯然h'（1）=0，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，1}）$時(shí)，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，
即h（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，1}）$上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（1）=1，
故 a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法和利用導(dǎo)數(shù)求最值問(wèn)題，屬于難題，在高考中作為壓軸題出現(xiàn)．