Question

18．已知在三棱錐P-ABC中，V_P-ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠APC=$\frac{π}{4}$，∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P-ABC外接球的半徑為2．

Answer 1

分析 利用等體積轉換，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中點為球心，球的半徑．

解答 解：由題意，設PC=2x，則
∵PA⊥AC，∠APC=$\frac{π}{4}$，
∴△APC為等腰直角三角形，
∴PC邊上的高為x，
∵平面PAC⊥平面PBC，
∴A到平面PBC的距離為x，
∵∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PB=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}x•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$×x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴x=2，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PC的中點為球心，球的半徑為2．
故答案為：2．

點評 本題考查三棱錐P-ABC外接球的體積，考查學生的計算能力，正確確定球心與球的半徑是關鍵．