Question

19．已知函數(shù)y=a^2x+2a^x+3（a＞0，a≠1）在區(qū)間[-1，1]上有最大值11，試求a的值．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)t=a^x，可轉(zhuǎn)化為y=（t+1）²+2，對(duì)a分a＞1與0＜a＜1討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得a的值．

解答 解：y=a^2x+2a^x+3=（a^x）²+2a^x+3（1分）
=（a^x+1）²+2，（2分）
令a^x=t，則y=（t+1）²+2，（3分）
當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)?1≤x≤1，所以$\frac{1}{a}$≤a^x≤a，（4分）
即$\frac{1}{a}$≤t≤a．（5分）
因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=-1，所以當(dāng)t=a時(shí)函數(shù)取最大值，
所以（a+1）²+2=11，（6分）  所以a=2；（7分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)?1≤x≤1，所以a≤a^x≤$\frac{1}{a}$，（8分）
即a≤t≤$\frac{1}{a}$，所以當(dāng)t=$\frac{1}{a}$時(shí)函數(shù)取最大值，（9分）
所以（$\frac{1}{a}$+1）²+2=11，（10分），所以a=$\frac{1}{2}$．（11分）
綜上所述，a的值是2或$\frac{1}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查構(gòu)造函數(shù)思想與分類(lèi)討論思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．