Question

17．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距是$2\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，$\left|{CD}\right|=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意知$2c=2\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，從而求橢圓的方程即可．
（2）設(shè)出交點坐標，聯(lián)立方程化簡得（1+3k²）x²+12kx+9=0，從而結(jié)合韋達定理及兩點間的距離公式求解即可．

解答 解：（1）由題意知$2c=2\sqrt{2}$，
故c²=2，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a²=3，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
將y=kx+2代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
化簡整理可得，（1+3k²）x²+12kx+9=0，
故△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，
故k²≥1；
由韋達定理得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12k}{1+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
故$\left|{CD}\right|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$，
而y₁-y₂=k（x₁-x₂），
故$\frac{{6\sqrt{2}}}{5}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}$；
而${（{x_1}-{x_2}）^2}={（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}=\frac{{{{12}^2}{k^2}}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}-\frac{36}{{1+3{k^2}}}$代入上式，
整理得7k⁴-12k²-27=0，
即（7k²+9）（k²-3）=0，
解得k²=3，故$k=±\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應用及學生的化簡運算能力．