Question

14．已知O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，滿足|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，則點(diǎn)O（　�。�

• A． 在與邊AB垂直的直線上
• B． 在∠A的平分線所在直線上
• C． 在邊AB的中線所在直線上
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 根據(jù)向量的減法分別設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，表示$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CA}$利用數(shù)量積運(yùn)算和題意代入式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，證出OC⊥AB．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$．
由|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{CA}$|²，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|²，化簡(jiǎn)可得$\overrightarrow•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，即（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$））•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{OC}$
∴AB⊥OC．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量在幾何中應(yīng)用，主要利用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，證明垂直主要根據(jù)題意構(gòu)造向量利用數(shù)量積為零進(jìn)行證明．