Question

9．已知a_n=2^n-2，a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n}}$，c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}前n項的和S_n=$\frac{8n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通過a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n}}$兩邊取對數(shù)化簡可知b_n=-2（n-2），進(jìn)而c_n=$\frac{-2（n-2）}{{2}^{n-2}}$，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2^n-2＞0，a_n²=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n}}$，
∴l(xiāng)og₂a_n²=log₂（$\frac{1}{2}$）${\;}^{_{n}}$，
化簡得：b_n=-2（n-2），
∴c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{-2（n-2）}{{2}^{n-2}}$，
∴S_n=-2[-1•$\frac{1}{{2}^{-1}}$+0+1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$]，
$\frac{1}{2}•$S_n=-2[-1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+0+1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-3）•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]，
兩式相減得：$\frac{1}{2}•$S_n=-2[-2+（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]，
∴S_n=-4[-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]
=-4[-2+2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$]
=$\frac{8n}{{2}^{n}}$，
故答案為：$\frac{8n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，涉及對數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．