Question

10．已知f：（0，1）→R且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈Q}\\{\frac{p+1}{q}，x=\frac{p}{q}，（p，q）=1，0＜p＜q}\end{array}\right.$，當(dāng)x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）時，試求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 由x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）時，可得x∈Q，當(dāng)x=$\frac{p}{q}$，函數(shù)的最值情況，即可得到最大值．

解答 解：由x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）時，
可得x∉Q，f（x）=x＜$\frac{8}{9}$，
當(dāng)x=$\frac{p}{q}$，且為x=$\frac{15}{17}$時，
f（x）=$\frac{15+1}{17}$=$\frac{16}{17}$＞$\frac{8}{9}$，
即有f（x）的最大值為$\frac{16}{17}$．

點評 本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意考慮各段的情況，屬于中檔題．