Question

2．如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，點N為CD的中點．若$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AD}=（4，4）$．
（1）求向量$\overrightarrow{AN}$的坐標；
（2）求向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{AM}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的線性運算與坐標表示以及中點坐標公式，求出向量$\overrightarrow{AN}$；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{AM}$的夾角為θ，利用數(shù)量積公式求出cosθ的值．

解答 解：（1）平行四邊形ABCD，$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AD}=（4，4）$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=（8，4）；
又N為CD的中點，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（12，8）=（6，4）；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{AM}$的夾角為θ，
且$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=（4，2），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$=4×4+0×2=16，
$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{4}^{2}{+0}^{2}}$=4，|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{16}{4×2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與線性運算、數(shù)量積運算問題，是中檔題．