Question

前不久，社科院發(fā)布了2013年度“全國城市居民幸福指數(shù)排行榜”，北京市稱為本年度最“幸福城”．隨后，某師大附中學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10份制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）．若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸�！保�
（Ⅰ）求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸�！钡母怕�；
（Ⅱ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人是“極幸�！保�至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，則P（A）=P（A₀）+P（A₁），由此能求出至多有1人是“極幸�！钡母怕剩�
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個人是“極幸福”，
至多有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，
則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 12

C 3 16

+

C 1 4 C 2 12

C 3 16

=

121

140

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=(

3

4

)3=

27

64

，P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

4

)3•

3

4

=

9

64

，
P（ξ=3）=（

1

4

）³=

1

64

．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期的求法，是中檔題．