分析 由題意可得MN的斜率-1,設(shè)直線MN:y=-x+b,把MN的方程代入雙曲線方程利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式求出MN中點(diǎn)P(-$\frac{m}{4}$,$\frac{3}{4}$m),利用MN的中點(diǎn)在直線y=2x+4上,即可求得實(shí)數(shù)m的值.
解答 解:∵M(jìn)N關(guān)于y=x+m對(duì)稱,∴MN的垂直平分線y=x+m,故MN的斜率-1.
MN中點(diǎn)P(x0,x0+m)在y=x+m上,且在MN上,
設(shè)直線MN:y=-x+b,∵P在MN上,∴x0+m=-x0+b,∴b=2x0+m.
由y=-x+b與雙曲線2x2-y2=2,消元可得:2x2+2bx-b2-2=0,
∴xM+xN=2x0=-b,∴x0=-$\frac{2}$,∴b=$\frac{m}{2}$,∴MN中點(diǎn)P(-$\frac{m}{4}$,$\frac{3}{4}$m).
∵M(jìn)N的中點(diǎn)在直線y=2x+4上,∴$\frac{3}{4}$m=-$\frac{m}{2}$+4,求得m=$\frac{16}{5}$,
故答案為:$\frac{16}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查對(duì)稱性,考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題的關(guān)鍵是確定MN中點(diǎn)P的坐標(biāo),屬于中檔題.
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A. | ($\frac{2}{7}$)${\;}^{\frac{1}{4}}$ | B. | ($\frac{2}{7}$)4 | C. | 5${\;}^{\frac{1}{4}}$ | D. | ($\frac{7}{2}$)${\;}^{\frac{1}{4}}$ |
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