Question

3．已知雙曲線2x²-y²=2上存在兩點M，N關于直線y=x+m對稱，且MN的中點在直線y=2x+4上，則實數(shù)m的值為$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可得MN的斜率-1，設直線MN：y=-x+b，把MN的方程代入雙曲線方程利用韋達定理、中點公式求出MN中點P（-$\frac{m}{4}$，$\frac{3}{4}$m），利用MN的中點在直線y=2x+4上，即可求得實數(shù)m的值．

解答 解：∵MN關于y=x+m對稱，∴MN的垂直平分線y=x+m，故MN的斜率-1．
MN中點P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上，
設直線MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m．
由y=-x+b與雙曲線2x²-y²=2，消元可得：2x²+2bx-b²-2=0，
∴x_M+x_N=2x₀=-b，∴x₀=-$\frac{2}$，∴b=$\frac{m}{2}$，∴MN中點P（-$\frac{m}{4}$，$\frac{3}{4}$m）．
∵MN的中點在直線y=2x+4上，∴$\frac{3}{4}$m=-$\frac{m}{2}$+4，求得m=$\frac{16}{5}$，
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查對稱性，考查拋物線的標準方程，解題的關鍵是確定MN中點P的坐標，屬于中檔題．