Question

6．若直線m：y=kx+1與雙曲線x²-y²=1的左支交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（-1，0），且過弦AB的中點(diǎn)M，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別大于0及與雙曲線x²-y²=1的左支交于不同的A、B兩點(diǎn)，求得k的范圍；
（2）表示出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線l的方程，令x=0求得b關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)k的范圍求得b的范圍．

解答 解：（1）由直線m：y=kx+1與雙曲線x²-y²=1聯(lián)立，消去y得（1-k²）x²-2kx-2=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}+8（1-{k}^{2}）＞0}\\{\frac{2k}{1-{k}^{2}}＜0}\\{\frac{-2}{1-{k}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，∴1＜k＜$\sqrt{2}$；
（2）AB中點(diǎn)為M（$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-{k}^{2}}$）
∴l(xiāng)方程為y=$\frac{1}{k+1-{k}^{2}}$（x+1），令x=0，
得b=$\frac{1}{k+1-{k}^{2}}$=$\frac{1}{-（k-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}}$，
∵1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴b的范圍是（-∞，1）∪（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線綜合問題．用k表示b的過程即是建立目標(biāo)函數(shù)的過程，本題要注意k的取值范圍．