Question

3．已知拋物線y²=8x的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，△ABF為直角三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求得y，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知△FAB為等腰直角三角形，進(jìn)而可求得A或B的縱坐標(biāo)為4，進(jìn)而求得a，利用a，b和c的關(guān)系求得c，則雙曲線的離心率可得．

解答 解：依題意知拋物線的準(zhǔn)線x=-2，代入雙曲線方程得
y=±$\frac{4}{a}$•$\sqrt{4{-a}^{2}}$，不妨設(shè)A（-2，$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$）．
∵△FAB是等腰直角三角形，∴$\frac{4}{a}$$\sqrt{4{-a}^{2}}$=p=4，求得a=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+16}}{a}$=$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$=3，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是通過(guò)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)判斷出△FAB為等腰直角三角形，屬于中檔題．