Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．已知直線l：x=my+$\frac{p}{2}$與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（1≤λ≤3）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求$\overrightarrow{MA}$²+$\overrightarrow{MB}$²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${{y}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}$，${{y}_{2}}^{2}=2p{{x}_{2}}^{\;}$，利用點(diǎn)差法能求出拋物線C的方程．
（2）求出F（1，0），M（-1，0），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)、拋物線性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出$\overrightarrow{MA}$²+$\overrightarrow{MB}$²的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${{y}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}$，${{y}_{2}}^{2}=2p{{x}_{2}}^{\;}$，
兩式作差，得${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$=2p（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
依題意，當(dāng)m=1，即k_AB=1時(shí)，線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_AB=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2p}{4}=1$，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），M（-1，0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x，得y²-4my-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=4m，①}\\{{y}_{1}{y}_{2\;}=-4，②}\end{array}\right.$，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m{y}_{1}+1}\\{{x}_{2}=m{y}_{2}+1}\end{array}\right.$，
又$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{FB}$，（1≤λ≤3），則（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，
代入①②，得$\left\{\begin{array}{l}{（1-λ）{y}_{2}=4m}\\{-λ{(lán){y}_{2}}^{2}=-4}\end{array}\right.$
消去y₂，得$4{m}^{2}=λ+\frac{1}{λ}$-2，
∵1≤λ≤3，∴2$≤λ+\frac{1}{λ}≤\frac{10}{3}$，則0≤m²$≤\frac{1}{3}$，
又M（-1，0），則$\overrightarrow{MA}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+1，y₂），
則${\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}$=（x₁+1）²+${{y}_{1}}^{2}+（{x}_{2}+1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=（my₁+1）²+（my₂+1）²+2（my₁+my₂+2）+2+${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=（m²+1）（${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$）+4m（y₁+y₂）+8
=16m⁴+40m²+16，
而當(dāng)0$≤{m}^{2}≤\frac{1}{3}$時(shí)，16$≤16{m}^{4}+40{m}^{2}+16≤\frac{280}{9}$，
∴$\overrightarrow{MA}$²+$\overrightarrow{MB}$²的取值范圍是[16，$\frac{280}{9}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、向量知識(shí)、拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．