Question

13．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)，N在棱BC上．
（Ⅰ）當(dāng)N為BC的中點(diǎn)時(shí)，證明：DN∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)N使得MN∥平面PAC？若存在，求出$\frac{CN}{CB}$的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位線定理得DN∥AC，由此能證明DN∥平面PAC．
（Ⅱ）由已知得BC⊥平面PAC，PA⊥BC，PA⊥PC，由此能證明PA⊥平面PBC．
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME、NE，推導(dǎo)出平面MEN∥平面PAC，從而得到存在點(diǎn)N，當(dāng)$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$時(shí)，MN∥平面PAC．

解答 證明：（Ⅰ）∵D為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，
∴DN∥AC，
∵DN?平面PAC，AC?平面PAC，
∴DN∥平面PAC．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴PA⊥BC，
∵PA⊥PC，PC∩BC=C，
∴PA⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）存在點(diǎn)N，當(dāng)$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$時(shí)，MN∥平面PAC．
理由如下：
取AD中點(diǎn)E，連結(jié)ME、NE，
∵M(jìn)為PD中點(diǎn)，∴ME∥PA，
∵D為AB中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$，
又∵$\frac{CN}{CB}$=$\frac{1}{4}$，∴EN∥AC，
∵M(jìn)E∩NE=E，ME、EN?平面MEN，PA、AC?平面PAC，
∴平面MEN∥平面PAC，
∵M(jìn)N?平面MEN，∴MN∥平面PAC．
∴存在點(diǎn)N，當(dāng)$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$時(shí)，MN∥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．