Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1，令b_n=a_n•a_n+1，則b_n的前n項的和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由條件可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，再由等差數(shù)列的通項公式可得a_n=$\frac{1}{2n-1}$，則b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和即可得到所求和．

解答 解：由a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為首項為$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，公差為2的等差數(shù)列，
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
即有a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
則b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則b_n的前n項的和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算化簡能力，屬于中檔題．