Question

19．設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=3，則$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$，分離之后結(jié)合基本不等式即可求解

解答 解：∵x+y=3，x＞0，y＞0
∴$\frac{{y}^{2}}{x+1}$+$\frac{{x}^{2}}{y+1}$=$\frac{（3-x）^{2}}{x+1}+\frac{（3-y）^{2}}{y+1}$=$\frac{{x}^{2}-6x+9}{x+1}+\frac{{y}^{2}-6y+9}{y+1}$
=$\frac{（x+1）^{2}-8（x+1）+16}{x+1}+\frac{（y+1）^{2}-8（y+1）+16}{y+1}$
=x+1$+\frac{16}{x+1}-8$+y+1+$\frac{16}{y+1}$-8
=-11+16（$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}$）
=-11+$\frac{16}{5}$（$\frac{x+1+（y+1）}{x+1}$$+\frac{x+1+（y+1）}{y+1}$
=-11$+\frac{16}{5}$（2$+\frac{y+1}{x+1}+\frac{x+1}{y+1}$）$≥-11+\frac{16}{5}（2+2\sqrt{\frac{y+1}{x+1}•\frac{x+1}{y+1}}$）=$\frac{9}{5}$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x+1}{y+1}=\frac{y+1}{x+1}$即x=y=$\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)
故答案為：$\frac{9}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用解題的關(guān)鍵是對(duì)已知式在進(jìn)行化簡(jiǎn)，配湊基本不等式成立的條件