Question

11．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a²+b²+c²=1，則ab+bc+ca的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [-1，1]
• C． [-$\frac{1}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{4}$，1]

Answer 1

分析 由基本不等式易得ab+bc+ca≤1，再由a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²≥0可得ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$，綜合可得答案．

解答 解：∵a²+b²≥2ab，∴ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²），①
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
同理可得bc≤$\frac{1}{2}$（b²+c²），②，ac≤$\frac{1}{2}$（a²+c²），③
①+②+③可得ab+bc+ca≤$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²）
∵a²+b²+c²=1，∴$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²）=1，
∴ab+bc+ca≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)，
又a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²≥0，
∴1+2（ab+bc+ca）≥0，
∴ab+bc+ca≥-$\frac{1}{2}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．