如圖，四棱錐S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=
2
，SA=SC=SD=2．
（I）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)O，連接OD，由已知得AC⊥平面SOD，由此能證明AC⊥SD．
（Ⅱ）由題意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，從而SO⊥平面ABCD，連接BO，則∠SBO為直線SB與平面ABCD所成的角，由此能求出二面角A-SB-C的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD，
∵AD=DC，∴AC⊥OD，
又∵SA=SC，∴AC⊥OS，
由OD∩OS=O，得AC⊥平面SOD，
∵SD?平面SOD，∴AC⊥SD．
（Ⅱ）解：由題意知OA=OC=OD，
∵SA=SC=SD，
∴O是點(diǎn)S在平面ABCD上的射影，
故SO⊥平面ABCD，
連接BO，則∠SBO為直線SB與平面ABCD所成的角，
由題意知∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
且AB=AC=2，∴BO=
5
，
在Rt△SBO中，SB=
SO2+BO2
=2
2
，
∴cos∠SBO=
5
2
2
=
10
4
，
∴二面角A-SB-C的余弦值為
10
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圖一是由三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正三角形和一個(gè)半圓及一個(gè)扇形組成的平面圖形，將其折起恰好圍成如圖二所示的幾何體，在該幾何體中，點(diǎn)O為半圓的圓心，E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面ADE；
（2）求圖二所示幾何體的體積；
（3）求二面角A-BC-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=2
7
，PB=PC=2
2
，求三棱錐的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
n+2
3
an（n∈N*），a1=
1
3
．
①求證：數(shù)列{
an
n(n+1)
}為常數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)Tn=
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
，若對(duì)任意的n∈N*，x∈（0，+∞），不等式Tn＜x-2lnx+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義：若曲線y=f（x）與y=g（x）都和直線y=kx+b相切，且滿足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，則稱直線y=kx+b為曲線y=f（x）與y=g（x）的“內(nèi)公切線”．已知f（x）=-
1
4
x2，g（x）=ex．
（1）試探究曲線y=f（x）與y=g（x）是否存在“內(nèi)公切線”？若存在，請(qǐng)求出內(nèi)公切線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）g′（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)設(shè)函數(shù)，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)，x1＜x2，且存在實(shí)數(shù)x3，使得g′（x3）=
g(x2)-g(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x3＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，各局相互獨(dú)立，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，如果兩人比賽五局，乙得1分與得2分的概率恰好相等．
（1）求乙在每局中獲勝的概率為多少？
（2）假設(shè)比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止，用ξ表示比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)，求ξ的期望Eξ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知z是復(fù)數(shù)，若z+2i為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且z（1-2i）為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+mi）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=5，AA1=3．
（1）求長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)；
（2）求長(zhǎng)方體的表面積；
（3）求長(zhǎng)方體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若命題“p且q”為假，且“非p”為假，則命題q的真假為
 
．

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