Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

n+2

3

a_n（n∈N^*），a₁=

1

3

．
①求證：數(shù)列{

an

n(n+1)

}為常數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
②設(shè)T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，若對任意的n∈N^*，x∈（0，+∞），不等式T_n＜x-2lnx+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①由Sn=

n+2

3

an，得Sn-1=

n+1

3

an-1，n≥2，由此證明數(shù)列{

an

n(n+1)

}為常數(shù)列，且an=

n(n+1)

6

，n∈N^*．
②T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=6（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

）=6（1-

1

n+1

）＜6，從而x-2lnx+m＞6，即m≥6-x+2lnx對任意的（0，+∞）恒成立，由此結(jié)合已知條件求出m≥4+ln4．

解答： ①證明：由Sn=

n+2

3

an，得Sn-1=

n+1

3

an-1，n≥2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

n+2

3

an-

n+1

3

an-1，
∴an=

n+1

n-1

an-1，

an

n(n+1)

=

an-1

n(n-1)

，
由a1=

1

3

，得

an

n(n+1)

=

a1

2

=

1

6

．
∴數(shù)列{

an

n(n+1)

}為常數(shù)列，
∴an=

n(n+1)

6

，n∈N^*．
②T_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=6（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

）
=6（1-

1

n+1

）＜6，
∴x-2lnx+m＞6，即m≥6-x+2lnx對任意的（0，+∞）恒成立，
令f（x）=6-x+2lnx，則f′(x)=-1+

2

x

=

2-x

x

，
當(dāng)f′（x）=0時，x=2；當(dāng)f′（x）＞0時，x∈（0，2）；
當(dāng)f′（x）＜0時，x∈（2，+∞），
∴f（x）的最大值為f（2）=4+2ln2，
故m≥4+ln4．

點評：本題考查常數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．