Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅=5，S₅=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)等差數(shù)列的求和公式S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$計(jì)算可知a₁=1，進(jìn)而可求出d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知2ⁿ•a_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，S₅=15=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=$\frac{5（{a}_{1}+5）}{2}$，
解得：a₁=1，d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{5-1}{5-1}$=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n；
（2）由（1）可知2ⁿ•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
錯(cuò)位相減得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=n•2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．