Question

18．己知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+a（1-2sin²x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{8}$對稱．
（1）求實數(shù)a的值，并求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x），x∈[-π，π]的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）三角函數(shù)圖象性質(zhì)對稱軸應(yīng)用；（2）在給定區(qū)間上求單調(diào)區(qū)間的方法是先求出函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間，再給k賦值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+a-2asin²x=sin2x+a-a（1-cos2x）=sin2x+acos2x，
∵$x=\frac{π}{8}$是對稱軸，
∴$f（0）=f（\frac{π}{4}）$，∴a=-1，
f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，∴T=π；
（2）由題意得：$\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{4}＜\frac{3π}{2}+2kπ$
∴$\frac{3π}{8}+kπ＜x＜\frac{7π}{8}+kπ$（k∈Z）
當(dāng)k=-1時，$-\frac{5π}{8}＜x＜-\frac{π}{8}$；
當(dāng)k=0時，$\frac{3π}{8}＜x＜\frac{7π}{8}$
∴f（x）在[-π，π]上的單調(diào)減區(qū)間為$（-\frac{5π}{8}，-\frac{π}{8}），（\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}）$

點評 本題考查了三角函數(shù)圖象的對稱軸性質(zhì)及求給定區(qū)間上單調(diào)區(qū)間知識點，屬于易考題．