Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C交于A，B兩點．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=-2x+m（m＞0），試求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，長軸長為4，求出橢圓的幾何量，可得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線AB、聯立橢圓方程，消去y，運用韋達定理，由OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，化簡整理即可求m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，長軸長為4，
∴c=$\sqrt{3}$，a=2，
∴b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）直線AB的方程為y=-2x+m（m＞0），代入橢圓方程得
17x²-16mx+4m²-4=0，
則x₁+x₂=$\frac{16m}{17}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{17}$，①
由OA⊥OB，
知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+m）（-2x₂+m）
=5x₁x₂-2m（x₁+x₂）+m²=0，
將①代入，得5×$\frac{4{m}^{2}-4}{17}$-2m×$\frac{16m}{17}$+m²=0，
∵m＞0，
∴m=2．

點評 本題考查橢圓的方程和運用，考查直線方程和橢圓方程聯立，消去未知數，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．