Question

11．在某種產品表面進行腐蝕性試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間對應的一組數(shù)據(jù)：

時間x（s）	2	3	4	5	6
深度y（μm）	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）在所給的坐標系中畫出散點圖；
（2）如果y對x有線性相關關系，請用最小二乘法求y關于x的回歸直線方程；
（3）估計x=12時，腐蝕深度約是多少？
參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式：$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$$，\hat a$=$\overline y$-$\hat b\overline x$．
參考數(shù)據(jù)：2²+3²+4²+5²+6²=90，2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3．

Answer 1

分析 （1）由已知中腐蝕深度y與腐蝕時間x之間的統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)，易畫出數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）根據(jù)所給的樣本中心點和兩個最小二乘法要用的和式，寫出b的表示式，求出結果，再代入樣本中心點求出a，寫出線性回歸方程；
（3）根據(jù)（2）中所得的線性回歸方程，代入x=12求出預報值．

解答 解：（1）表中數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示：

（2）$\overline x=4$，$\overline y=5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{112•3-100}{90-80}=1.23$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=5-1.23×4=0.08$
所以回歸直線方程是：y=1.23x+0.08
（3）當x=12時，y=1.23×12+0.08=14.84μm

點評 本題考查線性回歸方程的做法和應用，是一個基礎題，本題解題的關鍵是正確應用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)．