Question

13．某工廠有甲乙兩個車間，每個車間各有3臺機(jī)器．甲車間每臺機(jī)器每天發(fā)生故障的概率均為$\frac{2}{5}$，乙車間3臺機(jī)器每天發(fā)生故障的概率分別為$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$．若一天內(nèi)同一車間的機(jī)器都不發(fā)生故障可獲利2萬元，恰有一臺機(jī)器發(fā)生故障仍可獲利1萬元，恰有兩臺機(jī)器發(fā)生故障的利潤為0萬元，三臺機(jī)器發(fā)生故障要虧損3萬元．
（Ⅰ）求乙車間每天機(jī)器發(fā)生故障的臺數(shù)的分布列；
（Ⅱ）由于節(jié)能減排，甲乙兩個車間必須停產(chǎn)一個．以工廠獲得利潤的期望值為決策依據(jù)，你認(rèn)為哪個車間停產(chǎn)比較合理．

Answer 1

分析 （Ⅰ）乙車間每天機(jī)器發(fā)生故障的臺數(shù)ξ，可以取0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求乙車間每天機(jī)器發(fā)生故障的臺數(shù)的分布列；
（Ⅱ）設(shè)甲車間每臺機(jī)器每天發(fā)生故障的臺數(shù)η，獲得的利潤為X，則η～B（3，$\frac{2}{5}$），求出甲乙的期望，比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）乙車間每天機(jī)器發(fā)生故障的臺數(shù)ξ，可以取0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{32}{125}$，P（ξ=1）=C₂¹×$\frac{1}{5}$×（（1-$\frac{1}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）²+（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{64}{125}$，
P（ξ=2）=C₂¹×$\frac{1}{5}$×（（1-$\frac{1}{5}$）×$\frac{3}{5}$+（$\frac{1}{5}$）²×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{26}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{125}$，
∴乙車間每天機(jī)器發(fā)生故障的臺數(shù)ξ的分布列；

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{32}{125}$	$\frac{64}{125}$	$\frac{26}{125}$	$\frac{3}{125}$

（Ⅱ）設(shè)甲車間每臺機(jī)器每天發(fā)生故障的臺數(shù)η，獲得的利潤為X，則η～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（η=k）=${C}_{3}^{k}•（\frac{2}{5}）^{k}•（1-\frac{2}{5}）^{3-k}$（k=0，1，2，3），
∴EX=2P（η=0）+1×P（η=1）+0×P（η=2）-3×P（η=3）=$\frac{84}{125}$，
由（Ⅰ）得EY=2P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+0×P（ξ=2）-3×P（ξ=3）=$\frac{119}{125}$，
∵EX＜EY，
∴甲車間停產(chǎn)比較合理．

點評 本題考查概率知識的運用，考查數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計算能力，正確求出概率是關(guān)鍵．