Question

15．已知關(guān)于x的方程$\frac{x}{a}$+$\frac{x}$=1，其中a，b為實(shí)數(shù)．
（1）若x=1-$\sqrt{3}i$是該方程的根，求a，b的值．
（2）當(dāng)$\frac{a}$＞$\frac{1}{4}$且a＞0時(shí)，證明該方程沒有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）通過將x=1-$\sqrt{3}i$代入方程$\frac{x}{a}$+$\frac{x}$=1并化簡，利用復(fù)數(shù)相等，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）用反證法證明即可．

解答 （1）解：將x=1-$\sqrt{3}i$代入方程$\frac{x}{a}$+$\frac{x}$=1，
化簡得：（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）+（$\frac{\sqrt{3}}{4}$b-$\frac{\sqrt{3}}{a}$）i=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=1且$\frac{\sqrt{3}}{4}$b-$\frac{\sqrt{3}}{a}$=0，
解得：a=b=2；
（2）證明：原方程化為：x²-ax+ab=0，
假設(shè)原方程有實(shí)數(shù)解，那么△=（-a）²-4ab≥0，即a²≥4ab，
∵a＞0，∴$\frac{a}$≤$\frac{1}{4}$，這與$\frac{a}$＞$\frac{1}{4}$矛盾，
∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)形式的混合運(yùn)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．