Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|2-x|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2
（Ⅱ）若f（x）≥|a-1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)x分段去絕對(duì)值求解不等式f（x）＞2，取并集得答案；
（Ⅱ）由絕對(duì)值的幾何意義求出f（x）的最小值，然后求解關(guān)于a的絕對(duì)值的不等式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）＞2，得|x-1|+|2-x|＞2，
當(dāng)x＜1時(shí)，化為-x+1+2-x＞2，即x＜

1

2

；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，化為x-1+2-x＞2，此式顯然不成立；
當(dāng)x＞2時(shí)，化為x-1-2+x＞2，即x＞

5

2

．
∴不等式f（x）＞2的解集為(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)；
（Ⅱ）f（x）≥|a-1|恒成立，即
|x-1|+|2-x|≥|a-1|恒成立，
由絕對(duì)值的幾何意義得|x-1|+|2-x|≥2，
∴|a-1|≤2，解得-1≤a≤3．
∴使f（x）≥|a-1|恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍是[-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了絕對(duì)值的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．