Question

17．若關(guān)于x的方程2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1=0（a∈R）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂，則（　�。�

• A． x₁+x₂＞|a+1|^1.1
• B． x₁+x₂＜|a+1|^1.1
• C． x₁+x₂=|a+1|^1.1
• D． x₁+x₂與|a+1|^1.1的大小關(guān)系無(wú)法確定

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的知識(shí)可得問(wèn)題等價(jià)于y=2sinθ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，與直線y=1-a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ=2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴方程2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1=0可化為2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1-a，即2sinθ=1-a，
等價(jià)于y=2sinθ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，與直線y=1-a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
數(shù)形結(jié)合可得1≤1-a＜2，解得-1≤a≤0，可得0＜1+a≤1，
由函數(shù)的對(duì)稱性可知θ₁+θ₂=2×$\frac{π}{2}$=π，
∴x₁+x₂=$\frac{{θ}_{1}-\frac{π}{6}}{2}$+$\frac{{θ}_{2}-\frac{π}{6}}{2}$=$\frac{π}{3}$＞1，
∴|1+a|^1.1＜1＜$\frac{π}{3}$=x₁+x₂．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．