Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）設b_n=1+tana_n+1•tana_n+2，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由于數(shù)列{a_n}滿足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$，可得${2}^{2（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}$=2^n（n+1），可得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，利用遞推關系即可得出a_n．
（2）${b_n}=1+tan（n+1）tan（n+2）=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan（n+1）}]$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足${4^{a_1}}×{4^{a_2}}×{4^{a_3}}×…×{4^{a_n}}={2^{n（n+1）}}$，
∴${2}^{2（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）}$=2^n（n+1），
解得S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴當n=1時，a₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n．
∴a_n=n．
（2）${b_n}=1+tan（n+1）tan（n+2）=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan（n+1）}]$，
∴${s}_{n}=\frac{1}{tan1}[（tan3-tan2）+（tan4-tan3）+…+（tan（n+2）-tan（n+1））]$，
∴${s_n}=\frac{1}{tan1}[{tan（n+2）-tan2}]$．

點評 本題考查了遞推關系、指數(shù)冪的運算性質、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．