Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足等式f（x²+2x+2）+f（y²+8y+3）=0，則x+y的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{6}$-5
• B． -5
• C． 2$\sqrt{6}$+5
• D． 5

Answer 1

分析 由條件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）為單調(diào)函數(shù)且滿足的條件，將f（x²+2x+2）+f（y²+8y+3）=0化為f（x²+y²+2x+8y+5）=0=f（0），可得x²+y²+2x+8y+5=0，配方后，再令x=-1+2$\sqrt{3}$cosα，y=-4+2$\sqrt{3}$sinα（α∈（0，2π）），運(yùn)用兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：對(duì)任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y_⁼⁰，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足等式f（x²+2x+2）+f（y²+8y+3）=0，
即有f（x²+y²+2x+8y+5）=0=f（0），
由函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，
可得x²+y²+2x+8y+5=0，
化為（x+1）²+（y+4）²=12，
可令x=-1+2$\sqrt{3}$cosα，y=-4+2$\sqrt{3}$sinα（α∈（0，2π）），
則x+y=2$\sqrt{3}$（cosα+sinα）-5
=2$\sqrt{6}$cos（α-$\frac{π}{4}$）-5，
當(dāng)cos（α-$\frac{π}{4}$）=1即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，x+y取得最大值2$\sqrt{6}$-5，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，注意賦值法的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想，以及三角換元法，兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．