Question

15．數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，且b₁+b₂+…+b₉=90，則b₄•b₆（　�。�

• A． 最大值為99
• B． 為定值99
• C． 最大值為100
• D． 最大值為200

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，可知：數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1．而數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，因此數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．由b₁+b₂+…+b₉=90，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：b₅=$\frac{_{4}+_{6}}{2}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n-a_n+1=a_na_n+1（n∈N^*），∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
且b₁+b₂+…+b₉=90，
∴4×2b₅+b₅=90，
解得b₅=10=$\frac{_{4}+_{6}}{2}$，
∴b₄+b₆=20．
則b₄•b₆≤$（\frac{_{4}+_{6}}{2}）^{2}$=100，當且僅當b₄=b₆=10時取等號．
∴b₄•b₆的最大值為100．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．