Question

6．設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為C，設(shè)△=b²-4ac，∠ACB=θ，則cosθ=（　　）

• A． $\frac{△-4}{△+4}$
• B． $\frac{\sqrt{△}-2}{\sqrt{△}+2}$
• C． $\frac{△+4}{△-4}$
• D． $\frac{\sqrt{△}+2}{\sqrt{△}-2}$

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合余弦定理求出cosθ的值即可．

解答 解：如圖示：
，
∵|AB|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{{（-\frac{a}）}^{2}-4•\frac{c}{a}}$=$\frac{\sqrt{△}}{a}$，
∴|AD|=$\frac{\sqrt{△}}{2a}$，
而|CD|=|$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$|=$\frac{△}{4a}$，
∴AC²=|AD|²+|CD|²=$\frac{△}{{4a}^{2}}$+$\frac{{△}^{2}}{1{6a}^{2}}$=$\frac{{△}^{2}+4△}{1{6a}^{2}}$
∴cosθ=$\frac{{|AC|}^{2}{+|BC|}^{2}{-|AB|}^{2}}{2|AC|•|BC|}$
=1-$\frac{{|AB|}^{2}}{{2|AC|}^{2}}$
=1-$\frac{\frac{△}{{a}^{2}}}{2•\frac{{△}^{2}+4△}{1{6a}^{2}}}$，
=$\frac{△-4}{△+4}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查余弦定理以及解直角三角形問題，是一道中檔題．