Question

1．已知a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2x+a，且對任意的x∈[0，a]，都有f（x）∈[-a，a]，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，表示出f（x）的最值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=（x-1）²+a-1，對稱軸x=1，
①0＜a≤1時，f（x）在[0，a]遞減，
f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（a）=a²-a，
即函數(shù)的值域為[a²-a，a]⊆[-a，a]，
∴-a≤a²-a，解得：a∈（0，1]；
②當a∈（1，2]時：f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（1）=a-1，
即函數(shù)的值域是[a-1，a]⊆[-a，a]，
∴-a≤a-1，解得：a∈（1，2]；
③當a∈（2，+∞）時：f（x）_max=f（a）=a²-a，f（x）_min=f（1）=a-1，
即函數(shù)的值域是[a-1，a²-a]⊆[-a，a]，
∴a²-a≤a，解得：a∈∅，
綜上：a∈（0，2]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．