Question

5．如圖，已知長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM
（Ⅰ）求證：AD⊥BM
（Ⅱ）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E-AM-D的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明BM⊥平面ADM即可證明AD⊥BM
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夾角關(guān)系，解方程即可．

解答 （1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M為DC的中點，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；            
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DB}$，
則平面AMD的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{MD}$+$λ\overrightarrow{DB}$=（1-λ，2λ，1-λ），$\overrightarrow{AM}$=（-2，0，0），設(shè)平面AME的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}=（1-λ）x+2λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，
 取y=1，得x=0，z=$\frac{2λ}{1-λ}$，
則$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{2λ}{1-λ}$），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴求得$λ=\frac{1}{2}$，
故E為BD的中點．

點評 本題主要考查空間線面垂直性質(zhì)以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．