Question

1．如圖，O是邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的中心，動(dòng)點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在邊AB及BC上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{EF}$的取值范圍是[0，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件建立以O(shè)為原點(diǎn)，x軸平行于AB，y軸垂直于AB的直角坐標(biāo)系，求出向量$\overrightarrow{OB}=（1，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$，求出直線AC，BC的方程，從而設(shè)E（${x}_{1}，\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₁≤0．討論F在邊AB上時(shí)，設(shè)出F（${x}_{2}，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₂≤1，從而求出向量$\overrightarrow{EF}$的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}={x}_{2}+1$，而0≤x₂+1≤2；同樣的辦法求出點(diǎn)F在邊BC上時(shí)$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}$的范圍，這兩種情況下的范圍求并集即可．

解答 解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
根據(jù)已知條件，能確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
A（-1，$-\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（1，$-\frac{\sqrt{3}}{3}$），C（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
∴直線AC的方程為y=$\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，直線BC的方程為$y=-\sqrt{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\overrightarrow{OB}=（1，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$；
∴可設(shè)E（${x}_{1}，\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₁≤0；
（1）若F在邊AB上，則設(shè)F（${x}_{2}，-\frac{\sqrt{3}}{3}$），-1≤x₂≤1；
∴$\overrightarrow{EF}=（{x}_{2}-{x}_{1}，-\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}={x}_{2}+1$；
∴此時(shí)$0≤\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}≤2$；
（2）若F在邊BC上，則設(shè)F（${x}_{3}，-\sqrt{3}{x}_{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}$），0≤x₃≤1；
∴$\overrightarrow{EF}=（{x}_{3}-{x}_{1}，-\sqrt{3}{x}_{3}-\sqrt{3}{x}_{1}）$；
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}=2{x}_{3}$；
∴此時(shí)$0≤\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}≤2$；
∴綜上得$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{EF}$的取值范圍是[0，2]．
故答案為：[0，2]．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)等邊三角形中心的認(rèn)識(shí)，建立平面直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題的方法，兩點(diǎn)坐標(biāo)確定直線的方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．