Question

20．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且滿足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
（1）求證tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$
（2）將tanβ表示成tanα的函數(shù)關系式；
（3）求tanβ的最大值，并求tanβ取最大值時tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的余弦函數(shù)公式化簡已知等式后，移項根據(jù)同角三角函數(shù)關系式即可證明．
（2）由（1）結(jié)論根據(jù)二倍角公式和萬能公式即可化簡得解．
（3）由（2）可得tanβ=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由$\frac{1}{tanα}=2tanα$可解得tanα，即可根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式求解．

解答 解：（1）α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且滿足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β）
⇒sinβ=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
⇒sinβ（1+sin²α）=sinαcosαcosβ
⇒tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$．得證．
（2）由（1）可得tanβ=$\frac{sinαcosα}{1+si{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{2}sin2α}{\frac{3-cos2α}{2}}$=$\frac{sin2α}{3-cos2α}$=$\frac{\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}}{3-\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$．
（3）由（2）可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（當且僅當$\frac{1}{tanα}=2tanα$時），
即tanβ的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
由$\frac{1}{tanα}=2tanα$可得：tan²α=$\frac{1}{2}$，解得：tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以tanβ取最大值時：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了兩角和的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關系式，二倍角公式，萬能公式，兩角和的正切函數(shù)公式以及基本不等式的綜合應用，屬于基本知識的考查．