Question

13．如圖，已知點A（-4，0），AB=AC，且△ABC的內(nèi)切圓方程為（x-2）²+y²=$\frac{4}{9}$．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓上的點M作圓的切線，求切線長最短時的點M的坐標(biāo)和切線長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC和圓切于D點，AB和圓切于E點，圓心設(shè)為N，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以知道圓心坐標(biāo)及半徑長，從而根據(jù)AD²+DB²=（AE+DB）²可以求出DB，從而求得B點坐標(biāo)．根據(jù)A，B點坐標(biāo)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)過M所作切線的切點為P，連接PN，MN，從而根據(jù)$P{M}^{2}+\frac{4}{9}=M{N}^{2}$即可知道，M到圓心的距離最小時，切線長最小，設(shè)P（4cosθ，sinθ），從而得到$M{N}^{2}=15（cosθ-\frac{8}{15}）^{2}+\frac{11}{15}$，從而可得到MN²的最小值，及M點坐標(biāo)，從而得出最短切線長．

解答 解：（1）設(shè)內(nèi)切圓的圓心為N，根據(jù)內(nèi)切圓方程知，N（2，0），半徑為$\frac{2}{3}$，如圖所示：
如圖所示，設(shè)內(nèi)切圓兩個切點為D，E，則：
AN=6，NE=$\frac{2}{3}$，∴AE=$\sqrt{36-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{20}}{3}$；
在Rt△ABD中，AN=$\frac{20}{3}$，AB=$\frac{4\sqrt{20}}{3}+BE$=$\frac{4\sqrt{20}}{3}+DB$；
又AD²+DB²=AB²；
即$\frac{400}{9}+D{B}^{2}=（\frac{4\sqrt{20}}{3}DB）^{2}$；
解得$DB=\frac{\sqrt{20}}{6}$；
∴B（$\frac{8}{3}，\frac{\sqrt{20}}{6}$）；
根據(jù)圖形知，橢圓的長半軸為4，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
橢圓經(jīng)過B點，所以：
$\frac{64}{16×9}+\frac{20}{36^{2}}=1$，解得b=1；
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+{y}^{2}=1$；
（2）如下圖所示，
過M作圓的切線，切點為P，連接NP，MNMN，NP為圓的半徑；
則：$P{M}^{2}+\frac{4}{9}{=MN}^{2}$；
∴MN最小時，PM最小，設(shè)M（4cosθ，sinθ），則：
MN²=（4cosθ-2）²+sin²θ=15cos²θ-16cosθ+5=$15（cosθ-\frac{8}{15}）^{2}+\frac{11}{15}$；
∴$cosθ=\frac{8}{15}$時，MN²最小，即PM最小，且PM=$\frac{\sqrt{65}}{15}$；
即切線長為$\frac{\sqrt{65}}{15}$；
此時sinθ=$±\frac{\sqrt{161}}{15}$，∴M點坐標(biāo)為：M（$\frac{32}{15}，\frac{\sqrt{161}}{15}$），或M（$\frac{32}{15}，-\frac{\sqrt{161}}{15}$）．

點評 考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心和切點的連線和切線垂直，直角三角形邊的關(guān)系，橢圓的長軸定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用三角函數(shù)設(shè)橢圓上點坐標(biāo)的方法，配方法求最值．