Question

16．已知一個正三棱錐P-ABC的正視圖如圖所示，若AC=BC=$\frac{3}{2}$，PC=$\sqrt{6}$，則此正三棱錐的表面積為9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求正三棱錐的表面積即求三個側面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側面上的斜高，然后求解表面積．

解答 解：由題設條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是$\sqrt{6}$，
故底面三角形各邊上的高為3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結構特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的$\frac{1}{3}$，計算得其值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故斜高為$\sqrt{6+\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故此正三棱錐的表面積為：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}+3×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
故答案為：9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規(guī)則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側視圖高平齊，側視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規(guī)則把三視圖中的數(shù)據(jù)還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．