Question

2．如圖，已知拋物線y²=4x，過點P（2，0）作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線，與拋物線相交于點A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點
（1）若k₁+k₂=0，$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，求線段MN的長；
（2）若k₁•k₂=-1，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）若k₁+k₂=0，線段AB和CD關于x軸對稱，利用$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，確定坐標之間的關系，即可求線段MN的長；
（2）若k₁•k₂=-1，兩直線互相垂直，求出M，N的坐標，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面積的最小值．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨設y₁＞0，則
設直線AB的方程為y=k₁（x-2），代入y²=4x，可得y²-$\frac{4}{{k}_{1}}$y-8=0
∴y₁+y₂=$\frac{4}{{k}_{1}}$，y₁y₂=-8，
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，∴y₁=-2y₂，∴y₁=4，y₂=-2，
∴y_M=1，
∵k₁+k₂=0，
∴線段AB和CD關于x軸對稱，
∴線段MN的長為2；
（2）∵k₁•k₂=-1，∴兩直線互相垂直，
設AB：x=my+2，則CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2，
x=my+2代入y²=4x，得y²-4my-8=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴M（2m²+2，2m）．
同理N（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2，-$\frac{2}{m}$），
∴|PM|=2|m|•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|PN|=$\frac{2}{{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|PM||PN|=$\frac{1}{|m|}$（m²+1）=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，
當且僅當m=±1時取等號，
∴△PMN面積的最小值為4．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．