Question

17．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由f（x）=x³-ax²，知f'（x）=3x²-2ax．由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)是減函數(shù)，知f'（x）=3x²-2ax≤0在（0，$\frac{2}{3}$）上恒成立．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x²（x-a）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）內(nèi)是減函數(shù)，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在0，$\frac{2}{3}$）上恒成立． 
 即a≥$\frac{3x}{2}$在0，$\frac{2}{3}$）上恒成立
∵$\frac{3x}{2}$＜$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1，
∴a≥1．
故實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．