Question

【題目】（文科）已知的橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)， 是正三角形且周長(zhǎng)為6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ， .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和周長(zhǎng)為，建立關(guān)于的方程組，解之得且，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；（2）設(shè)直線的方程為，求出原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得到的最小值為，再由的方程與方程聯(lián)解，即可得到此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：(1)由題意，

解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.

(2)因?yàn)?/span>是正三角形，可得直線的斜率為，

所以直線的方程為.

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則

解得，可得坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>，所以.

所以的最小值，

直線的方程為，

即.

由解得，

所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上所述，可求的的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題.解決曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一般有兩種方法：① 探索曲線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).② 從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).