Question

15．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，把$\overrightarrow{a}$用含有$\overrightarrow、\overrightarrow{c}$的式子表示，結(jié)合$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，可得$|\overrightarrow|=\sqrt{-2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{-\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$．然后代入數(shù)量積求夾角公式求解．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow-3\overrightarrow{c}$，
代入$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，得$（-2\overrightarrow-3\overrightarrow{c}）•\overrightarrow=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，即$|\overrightarrow|=\sqrt{-2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$．
再代入$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，得$\overrightarrow•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}•（-2\overrightarrow-3\overrightarrow{c}）$，即$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{-\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$．
∴cos$＜\overrightarrow，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow•\overrightarrow{c}}{\sqrt{2（\overrightarrow•\overrightarrow{c}）^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．