Question

20．如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M，N兩點，且M，N關(guān)于直線x+y=0對稱，若P（x，y）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{kx-y+1≥0}\\{kx-my≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$上的任意一點，則$\frac{b+2}{a-2}$的取值范圍是[-1，$-\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，直線x+y=0過圓心，且與直線y=kx+1垂直；求出k再求m，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：由題意可知，直線x+y=0過圓心，且與直線y=kx+1垂直，
∴k=1，圓x²+y²+kx+my-4=0的圓心的橫坐標(biāo)為$-\frac{k}{2}$=$-\frac{1}{2}$，
圓心坐標(biāo)（$-\frac{1}{2}$，$-\frac{m}{2}$）在直線x+y=0上，
∴m=-1，
即不等式組等價為$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)z=$\frac{b+2}{a-2}$，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點（a，b）到定點）D（2，-2）的斜率，
由圖象知，OD的斜率最小，此時z=-1，
BD的斜率最大，此時B（-1，0），
則z=$\frac{0+2}{-1-2}$=$-\frac{2}{3}$，
即-1≤$\frac{b+2}{a-2}$≤$-\frac{2}{3}$，
故答案為：[-1，$-\frac{2}{3}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求出k，m的值，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．