Question

16．如圖所示的一塊木料ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AA₁，BB₁．BB₁，DD₁互相平行，AA₁⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AA₁=DD₁=4，AB=6，BB₁=CC₁=2，BC=4
（1）要經(jīng)過面A₁C₁的中心M和棱BC講木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？在圖中作出點(diǎn)M，并畫出截線（不必說明畫法和理由）
（2）記木料被鋸開后的截面為α，求AM與平面α所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）注意到棱BC平行于面A′C′，故過點(diǎn)M作B′C′的平行線，交A′B′、C′D′于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出AM的方向向量和平面α的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 解：（1）過點(diǎn)M點(diǎn)作B′C′的平行線，
交A′B′、C′D′于點(diǎn)E，F(xiàn)，
連結(jié)BE，CF；
作圖如右圖，

（2）以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
作EN⊥AB，垂足為N，
∵AA₁=DD₁=4，AB=6，BB₁=CC₁=2，BC=4，
則：EN=$\frac{1}{2}$（AA₁+BB₁）=3，
∴A（4，0，0），M（2，3，3），E（4，3，3），F(xiàn)（0，3，3），B（4，6，0）；
∴$\overrightarrow{EF}$=（-4，0，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{AF}$=（-4，3，3）；
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面α的法向量，
則：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EF}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EB}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-4x=0\\ 3y-3z=0\end{array}\right.$，
取z=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）；
若設(shè)直線AM和平面α所成的角為θ，
則：sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{6}{\sqrt{34}•\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$；
∴直線AM與平面α所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{17}}{17}$

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角問題的方法，弄清直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量所成角的關(guān)系，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．