Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1內(nèi)有點，P（-1，1），F(xiàn)為橢圓的右焦點，M為橢圓上一點．
（1）當(dāng)MP+2MF取最小值時，求點M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)MP+MF取最大值時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的第二定義進行轉(zhuǎn)化，即可求出當(dāng)MP+2MF取最小值時，求點M的坐標(biāo)；
（2）利用橢圓的第一定義進行轉(zhuǎn)化，當(dāng)MP+MF取最大值時，求點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，e=$\frac{1}{2}$．
由題意可得點P在橢圓內(nèi)部，設(shè)M到橢圓的左準(zhǔn)線l得距離為d
由橢圓的第二定義可知d=2MF，
∴|PM|+2|MF|=d+|PM|
由題意可得，過P作PN⊥l，當(dāng)M為該垂線與橢圓的右交點時，所求的值最小，
此時 y_M=1，代入可得 xM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
故M（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，1）；
（2）設(shè)左焦點為F′，則|MF|+|MF′|=4，∴|MF|=4-|MF′|，
∴|MP|+|MF|=4+|MP|-|MF′|≤4+|PF′|，
直線PF′的方程為x=-1，∴MP+MF取最大值時，點M的坐標(biāo)是（-1，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的第一、二定義的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．