Question

13．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若a，b，c成等比數(shù)列．
（1）求B的取值范圍；
（2）求y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，當且僅當a=c時，cosB取最小值$\frac{1}{2}$，由此能求出B的取值范圍．
（2）推導(dǎo)出y=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），由此能求出y的取值范圍．

解答 解：（1）∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，
∴當且僅當a=c時，cosB取最小值$\frac{1}{2}$．
∴B的取值范圍是（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$=$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{sinB+cosB}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1．
故1＜y≤$\sqrt{2}$．
∴y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查角的取值范圍的求法，考查函數(shù)值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等式的合理運用．