Question

6．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 求導，得f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x+3）（x-1），要使函數f（x）的圖象經過四個象限，則f（-3）f（1）＜0，再進一步計算即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1
∴f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x-1）（x+3），
令f′（x）=0，
解的x=1或x=-3，
要使函數f（x）的圖象經過四個象限，則f（-3）f（1）＜0，
∵f（-3）=$\frac{1}{3}$a（-3）³+a（-3）²-3a（-3）+1=9a+1，
f（1）=$\frac{1}{3}$a+a-3a+1=1-$\frac{5}{3}$a，
∴（9a+1）（1-$\frac{5}{3}$a）＜0，
即（a+$\frac{1}{9}$）（a-$\frac{3}{5}$）＞0，
解的a＜-$\frac{1}{9}$，或a＞$\frac{3}{5}$
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

點評 本題考查函數與導數的應用，利用導數判斷函數的單調性，函數值的變化從而確定其性質．