Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1-2cos²x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（B+C）=-$\frac{1}{2}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（B+C）=sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，可求B+C，進(jìn)而可求A，利用余弦定理可求a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-bc}$，結(jié)合基本不等式可求a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1-2cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1-（1+cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z…（7分）
（2）由題意f（B+C）=sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，
∴2（B+C）-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，解得：B+C=$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$，
而a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-bc}$=$\sqrt{（b+c）^{2}-3bc}$=$\sqrt{4-3bc}$，
又由bc$≤（\frac{b+c}{2}）^{2}$=1，從而a≥$\sqrt{4-3}$=1，
∴a的最小值是1．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，具有一定的綜合性，屬于基本知識(shí)的考查．